Was ist die Cauchy-Verteilung?

C. K. Taylor

Eine Verteilung einer Zufallsvariablen ist nicht für ihre Anwendungen wichtig, sondern dafür, was sie uns über unsere Definitionen sagt. Die Cauchy-Verteilung ist ein solches Beispiel, das manchmal als pathologisches Beispiel bezeichnet wird. Der Grund dafür ist, dass diese Verteilung zwar gut definiert ist und eine Verbindung zu einem physikalischen Phänomen hat, die Verteilung jedoch keinen Mittelwert oder keine Varianz aufweist. Tatsächlich besitzt diese Zufallsvariable kein a momenterzeugende Funktion .

Definition der Cauchy-Verteilung

Wir definieren die Cauchy-Verteilung, indem wir einen Spinner betrachten, beispielsweise den Typ in einem Brettspiel. Die Mitte dieses Spinners wird auf dem verankert Y Achse am Punkt (0, 1). Nach dem Drehen des Spinners verlängern wir das Liniensegment des Spinners, bis es die x-Achse kreuzt. Dies wird als unsere Zufallsvariable definiert X .

Wir bezeichnen mit w den kleineren der beiden Winkel, die der Spinner mit dem bildet Y Achse. Wir gehen davon aus, dass dieser Spinner genauso wahrscheinlich jeden Winkel bildet wie ein anderer, und daher hat W eine gleichmäßige Verteilung, die von -π/2 bis π/2 reicht .

Die grundlegende Trigonometrie liefert uns eine Verbindung zwischen unseren beiden Zufallsvariablen:

X = Also Im .

Die kumulative Verteilungsfunktion von X wird wie folgt hergeleitet :

H ( x ) = P ( X < x ) = P ( Also Im < x ) = P ( Im < arctan X )

Wir nutzen dann die Tatsache, dass Im ist einheitlich, und das gibt uns :

H ( x ) = 0,5 + ( arctan x )/Pi

Um die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zu erhalten, differenzieren wir die kumulative Dichtefunktion. Das Ergebnis ist h (x) = 1 /[Pi ( 1 + x^zwei) ]

Merkmale der Cauchy-Verteilung

Was die Cauchy-Verteilung interessant macht, ist, dass, obwohl wir sie unter Verwendung des physikalischen Systems eines zufälligen Kreisels definiert haben, eine Zufallsvariable mit einer Cauchy-Verteilung keinen Mittelwert, keine Varianz oder momenterzeugende Funktion hat. Alle der Momente über die Herkunft, die zur Definition dieser Parameter verwendet werden, existieren nicht.

Wir beginnen mit der Betrachtung des Mittelwerts. Der Mittelwert ist definiert als der erwartete Wert unserer Zufallsvariablen und somit E[ X ] = ∫_-∞^∞ x /[π (1 + x ^zwei) ] d x .

Wir integrieren, indem wir verwenden Auswechslung . Wenn wir setzen in = 1 + x ^zweidann sehen wir das d in = 2 x d x . Nach der Substitution konvergiert das resultierende uneigentliche Integral nicht. Das bedeutet, dass der Erwartungswert nicht existiert und dass der Mittelwert undefiniert ist.

Ebenso sind die varianz- und momenterzeugende Funktion undefiniert.

Benennung der Cauchy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung ist nach dem französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857) benannt. Obwohl diese Distribution nach Cauchy benannt wurde, wurden Informationen zur Distribution zuerst von veröffentlicht Poisson .