Die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariablen

Die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariablen wird durch einen Erwartungswert definiert. C. K. Taylor

Eine Möglichkeit, den Mittelwert und die Varianz von a zu berechnen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist das zu finden erwartete Werte der Zufallsvariablen X und X ^zwei. Wir verwenden die Notation UND ( X ) und UND ( X ^zwei), um diese erwarteten Werte zu bezeichnen. Im Allgemeinen ist es schwierig zu berechnen UND ( X ) und UND ( X ^zwei) direkt. Um diese Schwierigkeit zu umgehen, verwenden wir etwas fortgeschrittenere mathematische Theorie und Kalkül. Das Endergebnis erleichtert unsere Berechnungen.

Die Strategie für dieses Problem besteht darin, eine neue Funktion einer neuen Variablen zu definieren t das nennt man momenterzeugende Funktion. Mit dieser Funktion können wir Momente berechnen, indem wir einfach Ableitungen nehmen.

Annahmen

Bevor wir die momenterzeugende Funktion definieren, beginnen wir damit, die Bühne mit Notationen und Definitionen zu bereiten. Wir lassen X sei ein diskrete Zufallsvariable . Diese Zufallsvariable hat die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion f ( x ). Der Probenraum, mit dem wir arbeiten, wird mit bezeichnet S .

Anstatt den Erwartungswert zu berechnen X , wollen wir den Erwartungswert einer Exponentialfunktion berechnen X . Wenn es ein positives gibt reelle Zahl r so dass UND ( und^tX ) existiert und ist für alle endlich t im Intervall [- r , r ], dann können wir die momenterzeugende Funktion von definieren X .

Definition

Die momenterzeugende Funktion ist der Erwartungswert der obigen Exponentialfunktion. Mit anderen Worten, wir sagen, dass die momenterzeugende Funktion von X wird gegeben von:

M ( t ) = UND ( und^tX )

Dieser erwartete Wert ist die Formel Σ und ^tx f ( x ), wo die Summe über alles genommen wird x in dem Probenraum S . Dies kann je nach verwendetem Abtastraum eine endliche oder unendliche Summe sein.

Eigenschaften

Die momenterzeugende Funktion hat viele Merkmale, die mit anderen Themen der Wahrscheinlichkeits- und mathematischen Statistik in Verbindung stehen. Zu den wichtigsten Merkmalen gehören:

• Der Koeffizient von und^tb ist die Wahrscheinlichkeit, dass X = b .
• Momenterzeugende Funktionen besitzen eine Eindeutigkeitseigenschaft. Stimmen die momenterzeugenden Funktionen zweier Zufallsvariablen überein, so müssen die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen gleich sein. Mit anderen Worten beschreiben die Zufallsvariablen dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung.
• Zur Berechnung von Momenten können momenterzeugende Funktionen verwendet werden X .

Momente berechnen

Der letzte Punkt in der obigen Liste erklärt den Namen der momenterzeugenden Funktionen und auch ihre Nützlichkeit. Einige fortgeschrittene Mathematik sagt, dass unter den Bedingungen, die wir dargelegt haben, die Ableitung jeder Ordnung der Funktion M ( t ) existiert für wann t = 0. Außerdem können wir in diesem Fall die Reihenfolge der Summation und Differentiation in Bezug auf ändern t um die folgenden Formeln zu erhalten (alle Summierungen sind über den Werten von x im Proberaum S ):

• M ’( t ) = S Wagen^tx f ( x )
• M ’’( t ) = S x^zweiund^tx f ( x )
• M ’’’( t ) = S x³und^tx f ( x )
• M ⁽ⁿ⁾’( t ) = S xⁿund^tx f ( x )

Wenn wir setzen t = 0 in den obigen Formeln, dann die und^tx Begriff wird und ⁰= 1. Damit erhalten wir Formeln für die Momente der Zufallsvariablen X :

• M ’(0) = UND ( X )
• M ’’(0) = UND ( X ^zwei)
• M ’’’(0) = UND ( X ³)
• M ^{( n )}(0) = UND ( Xⁿ )

Das bedeutet, dass wir, wenn die momenterzeugende Funktion für eine bestimmte Zufallsvariable existiert, ihren Mittelwert und ihre Varianz in Form von Ableitungen der momenterzeugenden Funktion finden können. Der Mittelwert ist M ’(0), und die Varianz ist M ’’(0) – [ M ’(0)]^zwei.

Zusammenfassung

Zusammenfassend mussten wir uns in ziemlich hochkarätige Mathematik einarbeiten, also wurden einige Dinge beschönigt. Obwohl wir für das Obige Kalkül verwenden müssen, ist unsere mathematische Arbeit am Ende typischerweise einfacher, als die Momente direkt aus der Definition zu berechnen.