Die Gründungsprobleme der Philosophie der Mathematik

Die einfachsten Fragen in der Philosophie der Mathematik weisen auf tiefgreifende Probleme hin: Warum ist 1+1 = 2? Warum gilt die Aussage „1+1 = 2“ Gefühl so ganz anders als eine Aussage wie „es hat gestern geregnet“? Was meinen wir überhaupt mit „1“, „2“, …? Existiert „1“? Wenn ja, wie und wo? Diese Fragen stehen den Philosophen zur Verfügung, seit Mathematik praktiziert wird. Sie sind, wie so viele Fragen der Philosophie, sehr allgemein und sehr schwer zu beantworten – um Aussagen wie „1 + 1 = 2“ wirklich zu verstehen, braucht man anscheinend eine Menge philosophischer Maschinerie, wie es der Fall war Vormoderne Ausflüge in die Philosophie der Mathematik. Von Plato über Leibniz bis Kant führten die Antworten auf die obigen Fragen zu einem größeren System und bildeten einen Teil davon: die Philosophie der Mathematik.

Die Philosophie der Mathematik: Von den einfachsten bis zu den komplexesten Fragen

Sowohl die Mathematik als auch die Philosophie haben sich in nicht allzu langer Zeit sehr verändert. Alte Bedenken leiten die Forschung immer noch: Philosophen der Mathematik müssen bestimmen, welche Art von Existenz Objekten wie „1“ und „Kreis“ zugesprochen wird und welche Art von Wahrheit Aussagen wie „1 + 1 = 2“ zukommt. Aber die moderne Mathematik stellt Philosophen neue und beunruhigende Fragen und weist auf Objekte hin, deren Natur noch schwerer festzumachen ist. Diese Fragen haben so unterschiedliche und scheinbar unvereinbare Antworten hervorgebracht, dass die Philosophie der Mathematik wie ein seltsamer Sport erscheinen kann, bei dem man sich für eine Seite entscheidet und sie religiös gegen alle anderen verteidigt. Es ist wichtig festzuhalten, dass es so viele „Seiten“ gibt, dass man unmöglich hoffen kann, sie alle in einer so kurzen Einführung wie der, die Sie gerade lesen, abzudecken.

Damit ist keineswegs gesagt, dass die Philosophie der Mathematik unter einer größeren Meinungsvielfalt leidet als andere Bereiche der Philosophie. Um jedoch ein Gefühl für das heikle Geschäft zu bekommen, philosophisch über Mathematik nachzudenken, ist es am besten, die mathematischen Bedenken, die hinter diesen verschiedenen Schulen stehen, nicht aus den Augen zu verlieren. Ein merkwürdiges Merkmal der Philosophie der Mathematik ist die Tendenz, dass echte Mathematik und nicht nur mehr Philosophie aus philosophischen Untersuchungen hervorgeht, und dass der mathematische Fortschritt gleichermaßen auf grundlegende Fragen stößt. Die Philosophie der Mathematik einerseits und die Metamathematik (das Studium der Grundlagen der Mathematik mit Hilfe mathematischer Techniken) andererseits sind historisch ganz unmittelbar miteinander verbunden und haben zunehmend an Bedeutung gewonnen.

David Hilbert: Ein großartiges Projekt in (der Philosophie der) Mathematik

Werfen wir einen Blick auf einen historischen Bogen, der viele zentrale Fragen der Philosophie der Mathematik berührt, einen Mikrokosmos des Zusammenspiels von reiner Philosophie und reiner Mathematik: das Projekt des Mathematikers David Hilbert und insbesondere seine Auseinandersetzung mit einem anderen einflussreichen Denker , L.E.J. Brüwer. Als die reine Mathematik im 19. Jahrhundert heranreifte und auf zunehmend abstrakte und wenig intuitive Vorstellungen stieß, sahen sowohl Mathematiker als auch Philosophen klar die Notwendigkeit, die Grundlagen des Fachs ernsthaft zu untersuchen. Unter ihnen war Hilbert, ein zentraler Akteur in dem Bestreben, die Grundlagen für ein logisches und robustes Thema in praktischer Hinsicht zu legen. Er hoffte, die von so vielen Philosophen geteilte Ansicht, dass die Mathematik eine vollkommene, rationale Wissenschaft ist, in etwas Konkretes zu übersetzen.

Hilberts Denken wurde durch die zu seiner Zeit zutiefst modernen Entwicklungen in der Mathematik motiviert. Insbesondere wollte er der Mathematik eine dauerhafte Heimat geben transfinit . Die Arbeit von Bozen und Kantor in der Mengentheorie (eine Menge ist naiverweise nur eine Sammlung von Dingen, die unter einem Label organisiert sind) befasste sich ernsthaft und rigoros mit der Idee von tatsächliche Unendlichkeit; das heißt, unendlichen Objekten wird eine eigene Existenz gewährt. Zum Beispiel die Menge von alle Ganzzahlen {1, 2, …} als eigenständiges Objekt sind tatsächlich unendlich; dagegen braucht man bei bloß willkürlich großen Zahlen nur den Begriff der potentiell unendlich, die sich seit Jahrhunderten im ontologischen Werkzeugkasten der Mathematiker befanden. Philosophen aller Zeiten hatten diese Unterscheidung getroffen – der Begriff des tatsächlichen Unendlichen selbst war nicht neu. Nichtsdestotrotz hat Cantor zum ersten Mal seine Implikationen in der Mengenlehre herausgearbeitet. Der Schlüssel war eine einfache Möglichkeit, den Begriff der Zahl zu überdenken.

Mengen, Zählen und Unendlich

Unsere alltägliche Vorstellung von der Größe eines Satzes reduziert sich auf einfaches Zählen: Bei zwei Sammlungen von Dingen können wir feststellen, ob sie die gleiche Größe haben oder nicht, indem wir die Dinge in jeder Sammlung zählen und die Antworten vergleichen – ich habe drei Äpfel, du hast drei Bananen. Cantor vertiefte sich in den Begriff „gleich groß sein wie“ und abstrahierte den Begriff von Eins-zu-Eins-Korrespondenz: Sets sind gleich groß, wenn man ihre Elemente paaren kann – wenn ich jeder deiner Bananen genau einen meiner Äpfel zuordnen kann. Aber mit dieser einfachen Abstraktion erhalten wir kostenlos eine Möglichkeit, über die „Größe“ unendlicher Mengen zu sprechen: Wir können zwei unendliche Sammlungen gleich groß nennen, wenn wir sie in eine solche Eins-zu-Eins-Korrespondenz bringen können. Wie sich herausstellt, gibt es unendlich viele Mengen, die auf diese Weise nicht eins zu eins in Beziehung gesetzt werden können. Es kommt zum Beispiel vor, dass es „mehr“ gibt reale Nummern (d. h. der gesamte Zahlenstrahl – unendliche Dezimalstellen und alle) als ganze Zahlen, obwohl beide Sammlungen unendlich sind.

Satz von Cantor: Unendliche Unendlichkeiten

Es wird seltsamer – Satz von Cantor sagt uns im Wesentlichen, dass es gibt viel von verschiedenen Unendlichkeiten: unendlich viele, in der Tat, und bei jeder unendlichen Sammlung gibt es immer eine größere. Dieser neue Umgang mit dem Zahlenbegriff führte zur Untersuchung von Kardinäle, die in gewisser Weise eine radikale Erweiterung des Zählens sind, die es uns ermöglicht, über alle Arten von tatsächlichen Unendlichkeiten zu sprechen.

Diese seltsamen Phänomene führen dazu, dass viele führende Mathematiker energisch gegen dieses neue tatsächliche Unendliche vorgehen, wie Henri Poincaré, der dies erklärte „Es gibt keine wirkliche Unendlichkeit, das haben die Cantorianer vergessen, und sie sind in Widerspruch geraten.“ Obwohl Cantors Ideen in der Mathematik heute nahezu allgegenwärtig sind, waren sie anfangs überhaupt nicht populär.

Aber für einige – unter ihnen Hilbert – war dieser Bruch mit dem Endlichen ein großer Sieg für die freie Entwicklung der Mathematik. Für Hilbert war die mathematische Solidität von Cantors Unendlichkeit von großer ästhetischer Bedeutung, wie aus seinem berüchtigten Zitat hervorgeht: „F Aus dem Paradies, das Cantor für uns geschaffen hat, soll uns niemand vertreiben können “.

Mathematischer Realismus vs. Mathematischer Formalismus

Unterschiede in den Perspektiven in der Philosophie der Mathematik können teilweise durch Einstellungen gegenüber diesen neuen Unendlichkeiten kalibriert werden. Hilberts Ansicht stellte ihn direkt in Gegensatz zu einem anderen prominenten Denker, L. E. J. Brouwer, was zu einer berüchtigten philosophischen Rivalität führte.

Hilbert sah Mathematik als eine Art Spiel an, das sich ausschließlich mit der Manipulation von Symbolen nach bestimmten Regeln befasste, eine Ansicht, die als bekannt ist Formalismus . Diese Auffassung verbietet zwar nicht unbedingt Interpretationen dieses „Formelspiels“ als realitätsgebundenes „So-oder-das“, erfordert aber in seiner Grundform eher weniger Engagement für problematische mathematische „Gebilde“ als ältere Formen mathematischer Realismus , wie zum Beispiel Platonismus (Die Ansicht datiert natürlich zurück zu Gericht , die besagt, dass mathematische Objekte wie „1“ und „Kreis“ wirklich als persistente Objekte existieren, und zwar auf eine Weise, die von uns und unserem Verständnis von ihnen unabhängig ist). Brouwer verstand die Mathematik auf eine dritte Weise, die sich radikal von diesen beiden Perspektiven unterscheidet.

Einer von Hilberts bekannteren Theoremen und der Kern einer tiefgreifenden Meinungsverschiedenheit zwischen ihm und Brouwer ist sein sogenannter Basissatz . Die feineren Details sind irrelevant: was für Philosophen interessant und für Brouwer anstößig war, war die Art und Weise, wie Hilbert es bewies. Der Hilbertsche Basissatz ist ein Existenzsatz – es hat die Form ‘ Es gibt mindestens ein X’. Wenn Mathematiker zeigen sollen, dass „es mindestens ein X gibt“, können sie einen von zwei Ansätzen wählen: Sie müssen entweder zeigen, wie man ein solches X findet, oder zeigen, dass es eines gibt unmöglich dass es kein solches X gibt. Beweise der ersten Art werden genannt konstruktiv , und Beweise der zweiten Art genannt nicht konstruktiv. Hilberts Beweis des Basissatzes war nicht konstruktiv. Brouwer widersprach: Er begründete und verteidigte leidenschaftlich einen Ansatz zur mathematischen Philosophie, der als bekannt ist Intuitionismus .

Intuitionismus und Konstruktivismus

Der Intuitionist weigert sich, mathematische Objekte als Dinge zu betrachten, die nicht durch die Aktivität des Geistes konstruiert wurden. Für Brouwer waren nicht-konstruktive Beweistechniken, wie sie von Hilbert verwendet wurden, ernsthaft problematisch. Die breitere Schule der mathematischen Philosophie, die diese nicht-konstruktiven Beweise ablehnt, ist bekannt als Konstruktivismus . Konstruktivisten lehnen häufig die Existenz des tatsächlichen Unendlichen in der Mathematik ab, was als eigenständige Sichtweise bezeichnet wird Finitismus (zusammen mit seinem ziemlich fransigen Cousin, Ultrafinitismus , die sogar endliche Objekte ablehnt, die „zu groß sind, um vernünftig konstruiert zu werden“). Hilbert und Brouwer boten somit nicht nur unterschiedliche Perspektiven auf die Realität und Gültigkeit mathematischer Objekte, sondern auch radikal unterschiedliche Möglichkeiten, Mathematik zu betreiben.

Beide brachten neue Studien in der mathematischen Logik selbst hervor: Intuitionistische Logik untersucht logische Systeme ohne das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten und ist bis heute ein aktives Forschungsgebiet. Berühmter ist jedoch, dass der frühe formalistische Ansatz von Hilbert als optimistisches Ziel die Schaffung eines axiomatischen Systems hatte (Axiome sind anfängliche Aussagen, die immer als wahr angenommen wurden), aus dem alle Mathematik abgeleitet werden konnte und das selbst frei von Widersprüchen war. Diese Begriffe – bzw. genannt Vollständigkeit und Konsistenz in der mathematischen Logik – beides schienen durchaus vernünftige Fragen an Ihre gewählten mathematischen Grundlagen zu sein.

Im Jahr 1900 veröffentlichte Hilbert eine Liste mit 23 Problemen, die er für bahnbrechend in der damals zeitgenössischen Mathematik hielt. Der zweite auf der Liste sollte zeigen, dass seine arithmetischen Axiome konsistent waren. Dieses Axiomensystem bot die üblichen uns vertrauten arithmetischen Grundstrukturen – Zahlen, Addition, Subtraktion usw. – und war, so hoffte man, auch mächtig genug, um den Rest der Mathematik zu formalisieren.

Gödels Unvollständigkeitssatz: Ärger im Paradies

Die heute berüchtigten zwei Unvollständigkeitstheoreme von Kurt Gödel setzen den eher blauäugigen Interpretationen von Hilberts Projekt ein Ende, indem sie dies zeigen Nein Axiomensystem, das die Arithmetik enthält, seine eigene Konsistenz beweisen kann. Sie sind präzise und subtile logische Theoreme, und Philosophen haben ihre Konsequenzen für den mathematischen Realismus vorsichtig betrachtet (Gödel selbst war immer noch ein überzeugter Platoniker).

Hilberts Programm war es jedoch nicht Notwendig Die Theoreme, die nach Gödel völlig zum Stillstand kamen, waren ein Wendepunkt für die mathematische Logik – und sind seither Gegenstand endloser philosophischer Diskussionen. Hilberts Ansatz war weder das erste noch das letzte Wort zu axiomatischen Grundlagen der Mathematik. Es gab viele große Projekte.

Frege und später Russell führten die Logiker Ansatz, der darauf abzielte, mathematische Theoreme auf logische Sätze zu reduzieren. Russell fand bekanntermaßen ein ernstes Problem in Freges Ansatz – eines seiner Axiome, das die Schaffung einer Menge durch Aufrufen der Menge aller Dinge erlauben sollte, die eine gegebene Eigenschaft erfüllen, geriet in Konflikt mit einem Widerspruch, der heute als bekannt ist Russells Paradoxon: dass die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten, eine unsinnige Entität, von diesem Gesetz erlaubt ist. Im Gegenzug schienen Gödels Theoreme Russells eigene logistische Ambitionen zu bremsen, und die Mathematiker wandten sich weniger ehrgeizigen Ansätzen zu. Frege und Russell waren beide selbst integraler Bestandteil der frühen Entwicklung von Ludwig Wittgenstein , deren Arbeit eine Vielzahl weiterer Implikationen für die Philosophie der Mathematik hat, einschließlich des Status der Logik und ihrer Beziehung zur natürlichen Sprache.

Alte Fragen, neue Fragen: Die Zukunft der Philosophie der Mathematik

Schließlich wurde eine funktionierende Lösung für das Problem der Axiomatisierung der Mengenlehre in Form der Zermelo-Fraenkel-Axiome gefunden (zusammen mit dem Auswahlaxiom, historisch umstritten, wenn auch heute weniger umstritten) … Praktisch gesehen diese Ontologie – die nur enthält ein Objekt, a einstellen , aus dem alles aufgebaut ist – ist heutzutage die „Standardeinstellung“ für Mathematiker (wenn auch keineswegs die einzige Wahl).

Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre liegt auf dem ganzen Weg von der philosophischen Spekulation zum konkreten mathematischen Wissen – sie ist nun selbst ein mathematisches Objekt, das von Logikern untersucht wird. Aber genauso wie Cantors Begriff von einstellen die Art und Weise, wie Philosophen über Mathematik denken, in Frage gestellt, so dass neuere Abstraktionen beginnen, dasselbe zu tun, während neue grundlegende Ansätze kommen und gehen. Alte Fragen sind nicht nur immer noch frisch, sondern neue Fragen entstehen aus neuen Ideen in der Mathematik, die Philosophen immer wieder auf Trab halten, während sich das Zusammenspiel zwischen Philosophie und Mathematik vertieft.