Was sind die Gesetze von De Morgan?

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Die mathematische Statistik erfordert manchmal die Verwendung der Mengenlehre. De Morgans Gesetze sind zwei Aussagen, die die Wechselwirkungen zwischen verschiedenen mengentheoretischen Operationen beschreiben. Die Gesetze sind die für zwei beliebige Mengen EIN und B :

1. ( EIN ∩ B )^C= EIN ^CIN B ^C.
2. ( EIN IN B )^C= EIN ^C∩ B ^C.

Nachdem wir erklärt haben, was jede dieser Aussagen bedeutet, sehen wir uns ein Beispiel für die Verwendung jeder dieser Aussagen an.

Mengentheoretische Operationen

Um zu verstehen, was die Gesetze von De Morgan aussagen, müssen wir uns an einige Definitionen von mengentheoretischen Operationen erinnern. Insbesondere müssen wir über die wissen Union und Überschneidung von zwei Mengen und das Komplement einer Menge.

Die Gesetze von De Morgan beziehen sich auf das Zusammenspiel von Vereinigung, Schnittmenge und Komplement. Erinnere dich daran:

• Der Schnittpunkt der Mengen EIN und B besteht aus allen Elementen, die beiden gemeinsam sind EIN und B . Der Schnittpunkt ist mit bezeichnet EIN ∩ B .
• Die Vereinigung der Mengen EIN und B besteht aus allen Elementen, die in entweder EIN oder B , einschließlich der Elemente in beiden Mengen. Der Schnittpunkt ist mit A U B bezeichnet.
• Die Ergänzung des Sets EIN besteht aus allen Elementen, die nicht Elemente von sind EIN . Dieses Komplement wird mit A bezeichnet^C.

Nachdem wir uns nun an diese elementaren Operationen erinnert haben, werden wir die Aussage der Gesetze von De Morgan sehen. Für jedes Paar Sets EIN und B wir haben:

1. ( EIN ∩ B )^C= EIN ^CIN B ^C
2. ( EIN IN B )^C= EIN ^C∩ B ^C

Diese beiden Aussagen können durch die Verwendung von Venn-Diagrammen veranschaulicht werden. Wie unten zu sehen ist, können wir dies anhand eines Beispiels demonstrieren. Um zu beweisen, dass diese Aussagen wahr sind, müssen wir beweisen sie B. durch Verwendung von Definitionen mengentheoretischer Operationen.

Beispiel für die Gesetze von De Morgan

Betrachten Sie zum Beispiel die Menge von reale Nummern von 0 bis 5. Wir schreiben dies in Intervallnotation [0, 5]. Innerhalb dieses Sets haben wir EIN = [1, 3] und B = [2, 4]. Außerdem haben wir nach Anwendung unserer elementaren Operationen:

• Die Ergänzung EIN ^C= [0, 1) IN (3, 5)
• Die Ergänzung B ^C= [0, 2) IN (4, 5)
• Die Union EIN IN B = [1, 4]
• Der Schnittpunkt EIN ∩ B = [23]

Wir beginnen mit der Berechnung der Vereinigung EIN ^CIN B ^C. Wir sehen, dass die Vereinigung von [0, 1) U (3, 5] mit [0, 2) U (4, 5] [0, 2) U (3, 5] ist EIN ∩ B ist [2, 3]. Wir sehen, dass das Komplement dieser Menge [2, 3] auch [0, 2) U (3, 5) ist.Auf diese Weise haben wir das bewiesen EIN ^CIN B ^C= ( EIN ∩ B )^C.

Jetzt sehen wir den Schnittpunkt von [0, 1) U (3, 5] mit [0, 2) U (4, 5] ist [0, 1) U (4, 5). Wir sehen auch, dass das Komplement von [ 1, 4] ist auch [0, 1) U (4, 5). Auf diese Weise haben wir das bewiesen EIN ^C∩ B ^C= ( EIN IN B )^C.

Benennung der Gesetze von De Morgan

In der Geschichte der Logik haben Menschen wie z Aristoteles und William of Ockham haben Erklärungen abgegeben, die den Gesetzen von De Morgan entsprechen.

De Morgans Gesetze sind nach Augustus De Morgan benannt, der von 1806–1871 lebte. Obwohl er diese Gesetze nicht entdeckte, war er der erste, der diese Aussagen formal durch eine mathematische Formulierung in der Aussagenlogik einführte.