Mathematische Formeln für geometrische Formen

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In Mathe (besonders Geometrie ) und Wissenschaft müssen Sie häufig die Oberfläche, das Volumen oder den Umfang einer Vielzahl von Formen berechnen. Ob es eine Kugel oder ein Kreis ist, ein Rechteck oder ein Würfel , eine Pyramide oder ein Dreieck, jede Form hat spezifische Formeln, die Sie befolgen müssen, um die richtigen Maße zu erhalten.

Wir werden die Formeln untersuchen, die Sie benötigen, um die Oberfläche und das Volumen dreidimensionaler Formen sowie die zu berechnen Bereich und Umfang von zweidimensionale Formen . Sie können diese Lektion studieren, um jede Formel zu lernen, und sie dann für eine schnelle Referenz aufbewahren, wenn Sie sie das nächste Mal brauchen. Die gute Nachricht ist, dass jede Formel viele der gleichen Grundmessungen verwendet, sodass das Erlernen jeder neuen etwas einfacher wird.

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Oberfläche und Volumen einer Kugel

D.Russell

Ein dreidimensionaler Kreis wird als Kugel bezeichnet. Um entweder die Oberfläche oder das Volumen einer Kugel zu berechnen, müssen Sie den Radius kennen ( r ). Der Radius ist der Abstand vom Kugelmittelpunkt zum Rand und ist immer gleich, egal von welchen Punkten am Kugelrand aus gemessen wird.

Sobald Sie den Radius haben, sind die Formeln ziemlich einfach zu merken. Genau wie bei der Umfang des Kreises , müssen Sie pi ( Pi ). Im Allgemeinen können Sie diese unendliche Zahl auf 3,14 oder 3,14159 runden (der akzeptierte Bruch ist 22/7).

Oberfläche = 4πr^zwei Volumen = 4/3 πr³

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Oberfläche und Volumen eines Kegels

D.Russell

Ein Kegel ist eine Pyramide mit einer kreisförmigen Basis, die schräge Seiten hat, die sich in einem zentralen Punkt treffen. Um seine Oberfläche oder sein Volumen zu berechnen, müssen Sie den Radius der Basis und die Länge der Seite kennen.

Wenn Sie es nicht wissen, können Sie die Seitenlänge ( s ) mit dem Radius ( r ) und die Kegelhöhe ( h ).

s = √(r2 + h2)

Daraus errechnet sich dann die Gesamtfläche, also die Summe aus Grundfläche und Seitenfläche.

Fläche der Basis: πr^zwei Seitenfläche: πrs Gesamtoberfläche = πr^zwei+ Pr

Um das Volumen einer Kugel zu finden, brauchst du nur den Radius und die Höhe.

Volumen = 1/3 πr^zweih

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Oberfläche und Volumen eines Zylinders

D.Russell

Sie werden feststellen, dass ein Zylinder viel einfacher zu handhaben ist als ein Kegel. Diese Form hat eine kreisförmige Basis und gerade, parallele Seiten. Das heißt, um seine Oberfläche oder sein Volumen zu finden, braucht man nur den Radius ( r ) und Höhe ( h ).

Allerdings müssen Sie auch berücksichtigen, dass es sowohl eine Ober- als auch eine Unterseite gibt, weshalb der Radius für die Fläche mit zwei multipliziert werden muss.

Oberfläche = 2πr^zwei+ 2πrh Volumen = πr^zweih

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Oberfläche und Volumen eines rechteckigen Prismas

D.Russell

Ein Rechteck in drei Dimensionen wird zu einem rechteckigen Prisma (oder einer Box). Wenn alle Seiten gleich groß sind, wird es ein Würfel. So oder so erfordern die Bestimmung der Oberfläche und des Volumens die gleichen Formeln.

Für diese müssen Sie die Länge kennen ( l ), die Höhe ( h ) und die Breite ( in ). Bei einem Würfel sind alle drei gleich.

Oberfläche = 2(lh) + 2(lw) + 2(wh) Volumen = LB

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Oberfläche und Volumen einer Pyramide

D.Russell

Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche und Flächen aus gleichseitigen Dreiecken ist relativ einfach zu bearbeiten.

Sie müssen das Maß für eine Länge der Basis kennen ( b ). Die Höhe ( h ) ist der Abstand von der Basis zum Mittelpunkt der Pyramide. Die Seite ( s ) ist die Länge einer Seite der Pyramide von der Basis bis zur Spitze.

Oberfläche = 2bs + b^zwei Volumen = 1/3 b^zweih

Eine andere Möglichkeit, dies zu berechnen, ist die Verwendung des Umfangs ( P ) und der Bereich ( EIN ) der Grundform. Dies kann auf einer Pyramide verwendet werden, die eher eine rechteckige als eine quadratische Basis hat.

Oberfläche = ( ½ x P x s ) + A Volumen = 1/3 Ah

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Oberfläche und Volumen eines Prismas

D.Russell

Wenn Sie von einer Pyramide auf ein gleichschenkliges Dreiecksprisma wechseln, müssen Sie auch die Länge ( l ) der Form. Denken Sie an die Abkürzungen für Basis ( b ), Höhe ( h ) und Seite ( s ), da sie für diese Berechnungen benötigt werden.

Oberfläche = bh + 2ls + lb Volumen = 1/2 (bh)l

Ein Prisma kann jedoch ein beliebiger Stapel von Formen sein. Wenn Sie die Fläche oder das Volumen eines ungeraden Prismas bestimmen müssen, können Sie sich auf die Fläche ( EIN ) und der Umfang ( P ) der Grundform. Oft verwendet diese Formel die Höhe des Prismas oder die Tiefe ( d ), und nicht die Länge ( l ), obwohl Sie möglicherweise beide Abkürzungen sehen.

Oberfläche = 2A + Pd Volumen = Anzeige

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Fläche eines Kreissektors

D.Russell

Die Fläche eines Kreissektors kann in Grad berechnet werden (bzw Radiant wie es häufiger in der Analysis verwendet wird). Dazu benötigen Sie den Radius ( r ), Pi ( Pi ) und der Zentriwinkel ( ich ).

Fläche = θ/2 r^zwei(in Radiant)Fläche = θ/360 pr^zwei(in Grad)

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Fläche einer Ellipse

D.Russell

Eine Ellipse wird auch als Oval bezeichnet und ist im Wesentlichen ein länglicher Kreis. Die Abstände vom Mittelpunkt zur Seite sind nicht konstant, was die Formel zum Ermitteln der Fläche etwas knifflig macht.

Um diese Formel zu verwenden, müssen Sie Folgendes wissen:

• Kleine Halbachse ( a ): Der kürzeste Abstand zwischen dem Mittelpunkt und der Kante.
• Große Halbachse ( b ): Der längste Abstand zwischen dem Mittelpunkt und der Kante.

Die Summe dieser beiden Punkte bleibt konstant. Deshalb können wir die folgende Formel verwenden, um die Fläche einer beliebigen Ellipse zu berechnen.

Fläche = πab

Gelegentlich sehen Sie diese Formel mit geschrieben r₁ (Radius 1 oder kleine Halbachse) und r_zwei (Radius 2 oder große Halbachse) statt a und b .

Fläche = πr₁r_zwei

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Fläche und Umfang eines Dreiecks

Das Dreieck ist eine der einfachsten Formen und die Berechnung des Umfangs dieser dreiseitigen Form ist ziemlich einfach. Sie müssen die Längen aller drei Seiten kennen ( a, b, c ), um den vollen Umfang zu messen.

Umfang = a + b + c

Um die Fläche des Dreiecks zu ermitteln, benötigen Sie nur die Länge der Basis ( b ) und die Höhe ( h ), die von der Basis bis zur Spitze des Dreiecks gemessen wird. Diese Formel funktioniert für jedes Dreieck, egal ob die Seiten gleich sind oder nicht.

Fläche = 1/2 bh

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Fläche und Umfang eines Kreises

Ähnlich wie bei einer Kugel müssen Sie den Radius kennen ( r ) eines Kreises, um seinen Durchmesser ( d ) und Umfang ( c ). Denken Sie daran, dass ein Kreis eine Ellipse ist, die vom Mittelpunkt zu jeder Seite (dem Radius) den gleichen Abstand hat, also spielt es keine Rolle, wo auf der Kante Sie messen.

Durchmesser (d) = 2r Umfang (c) = πd oder 2πr

Diese beiden Messungen werden in einer Formel verwendet, um die Fläche des Kreises zu berechnen. Es ist auch wichtig, sich daran zu erinnern, dass das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser gleich Pi ist ( Pi ).

Fläche = πr^zwei

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Fläche und Umfang eines Parallelogramms

Das Parallelogramm hat zwei Sätze von gegenüberliegenden Seiten, die parallel zueinander verlaufen. Die Form ist ein Viereck, also hat es vier Seiten: zwei Seiten einer Länge ( a ) und zwei Seiten anderer Länge ( b ).

Um den Umfang eines beliebigen Parallelogramms herauszufinden, verwenden Sie diese einfache Formel:

Umfang = 2a + 2b

Wenn Sie die Fläche eines Parallelogramms finden müssen, benötigen Sie die Höhe ( h ). Dies ist der Abstand zwischen zwei parallelen Seiten. Die Basis ( b ) ist ebenfalls erforderlich und dies ist die Länge einer der Seiten.

Fläche = b x h

Denken Sie daran, dass die b in der Bereichsformel ist nicht dasselbe wie die b in der Umfangsformel. Sie können jede der Seiten verwenden, die als gepaart wurden a und b bei der Berechnung des Umfangs – obwohl wir meistens eine Seite verwenden, die senkrecht zur Höhe ist.

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Fläche und Umfang eines Rechtecks

Das Rechteck ist auch ein Viereck. Anders als beim Parallelogramm sind die Innenwinkel immer gleich 90 Grad. Außerdem sind die gegenüberliegenden Seiten immer gleich lang.

Um die Formeln für Umfang und Fläche zu verwenden, müssen Sie die Länge des Rechtecks ​​messen ( l ) und seine Breite ( in ).

Umfang = 2h + 2w Fläche = h x b

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Fläche und Umfang eines Quadrats

Das Quadrat ist noch einfacher als das Rechteck, weil es ein Rechteck mit vier gleichen Seiten ist. Das heißt, Sie müssen nur die Länge einer Seite kennen ( s ), um seinen Umfang und seine Fläche zu finden.

Umfang = 4s Fläche = s^zwei

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Fläche und Umfang eines Trapezes

Das Trapez ist ein Viereck, das wie eine Herausforderung aussehen kann, aber eigentlich ganz einfach ist. Bei dieser Form sind nur zwei Seiten parallel zueinander, obwohl alle vier Seiten unterschiedlich lang sein können. Das bedeutet, dass Sie die Länge jeder Seite kennen müssen ( ein, b₁, b_zwei, c ), um den Umfang eines Trapezes zu finden.

Umfang = a + b₁+ b_zwei+ c

Um die Fläche eines Trapezes zu finden, benötigen Sie auch die Höhe ( h ). Dies ist der Abstand zwischen den beiden parallelen Seiten.

Fläche = 1/2 (b₁+ b_zwei) x h

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Fläche und Umfang eines Sechsecks

Ein Sechseck Polygon mit gleichen Seiten ist ein regelmäßiges Sechseck. Die Länge jeder Seite ist gleich dem Radius ( r ). Obwohl es wie eine komplizierte Form erscheinen mag, ist die Berechnung des Umfangs eine einfache Sache, indem der Radius mit den sechs Seiten multipliziert wird.

Umfang = 6r

Die Fläche eines Sechsecks herauszufinden ist etwas schwieriger und Sie müssen sich diese Formel merken:

Fläche = (3√3/2 )r^zwei

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Fläche und Umfang eines Achtecks

Ein regelmäßiges Achteck ähnelt einem Sechseck, obwohl dieses Polygon acht gleiche Seiten hat. Um den Umfang und die Fläche dieser Form zu ermitteln, benötigen Sie die Länge einer Seite ( a ).

Umfang = 8a Fläche = ( 2 + 2√2 )a^zwei