Was sind das Gegenteil, das Kontrapositiv und das Inverse?

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Bedingte Aussagen kommen überall vor. In der Mathematik oder anderswo dauert es nicht lange, um auf etwas von der Form Wenn zu stoßen P dann Q . Bedingungssätze sind in der Tat wichtig. Wichtig sind auch Aussagen, die sich auf die ursprüngliche Bedingungsaussage beziehen, indem sie die Position von ändern P , Q und die Verneinung einer Aussage. Beginnend mit einer ursprünglichen Aussage, landen wir bei drei neuen bedingten Aussagen, die das Gegenteil, das Kontrapositiv und das genannt werden umgekehrt .

Negation

Bevor wir die Umkehrung, Kontraposition und Umkehrung einer bedingten Aussage definieren, müssen wir uns mit dem Thema Negation befassen. Jede Aussage drin Logik ist entweder wahr oder falsch. Die Negation einer Aussage beinhaltet einfach das Einfügen des Wortes not am richtigen Teil der Aussage. Das Hinzufügen des Wortes not erfolgt, um den Wahrheitsstatus der Aussage zu ändern.

Es hilft, sich ein Beispiel anzusehen. Die Aussage Die rechtwinkliges Dreieck ist gleichseitig hat Negation Das rechtwinklige Dreieck ist nicht gleichseitig. Die Negation von 10 ist eine gerade Zahl, wenn die Aussage 10 keine gerade Zahl ist. Natürlich könnten wir für dieses letzte Beispiel die Definition einer ungeraden Zahl verwenden und stattdessen sagen, dass 10 eine ungerade Zahl ist. Wir stellen fest, dass die Wahrheit einer Aussage das Gegenteil von der der Negation ist.

Wir werden diese Idee in einem abstrakteren Rahmen untersuchen. Bei der Aussage P stimmt, die aussage nicht P ist falsch. Ebenso, wenn P ist falsch, seine Negation nicht P ist wahr. Negationen werden üblicherweise mit einer Tilde ~ bezeichnet. Also anstatt nicht zu schreiben P wir können ~ schreiben P .

Umgekehrt, kontrapositiv und invers

Jetzt können wir die Umkehrung, die Kontraposition und die Umkehrung einer Bedingungsanweisung definieren. Wir beginnen mit der Bedingung If P dann Q .

• Die Umkehrung der Bedingungsanweisung ist If Q dann P .
• Das Kontrapositiv der Bedingungsanweisung ist If not Q dann nicht P .
• Die Umkehrung der Bedingungsanweisung ist If not P dann nicht Q .

Wir werden sehen, wie diese Anweisungen mit einem Beispiel funktionieren. Angenommen, wir beginnen mit der Bedingung Wenn es letzte Nacht geregnet hat, dann ist der Bürgersteig nass.

• Die Umkehrung der Bedingungsaussage lautet: Wenn der Bürgersteig nass ist, dann hat es letzte Nacht geregnet.
• Das Kontrapositiv der Bedingungsaussage lautet: Wenn der Bürgersteig nicht nass ist, dann hat es letzte Nacht nicht geregnet.
• Die Umkehrung der Bedingung lautet: Wenn es letzte Nacht nicht geregnet hat, dann ist der Bürgersteig nicht nass.

Logische Äquivalenz

Wir fragen uns vielleicht, warum es wichtig ist, diese anderen bedingten Aussagen aus unserer ersten zu bilden. Ein genauer Blick auf das obige Beispiel zeigt etwas. Angenommen, die ursprüngliche Aussage Wenn es letzte Nacht geregnet hat, dann ist der Bürgersteig nass ist wahr. Welche der anderen Aussagen müssen auch stimmen?

• Das Gegenteil: Wenn der Bürgersteig nass ist, dann hat es letzte Nacht geregnet, ist nicht unbedingt wahr. Der Bürgersteig könnte aus anderen Gründen nass sein.
• Der Umkehrschluss Wenn es letzte Nacht nicht geregnet hat, dann ist der Bürgersteig nicht nass ist nicht unbedingt wahr. Auch hier gilt: Nur weil es nicht geregnet hat, heißt das nicht, dass der Bürgersteig nicht nass ist.
• Das Gegenteil Wenn der Bürgersteig nicht nass ist, dann hat es letzte Nacht nicht geregnet, ist eine wahre Aussage.

Was wir an diesem Beispiel sehen (und was mathematisch bewiesen werden kann) ist, dass eine Bedingungsaussage denselben Wahrheitswert hat wie ihr Kontrapositiv. Wir sagen, dass diese beiden Aussagen logisch äquivalent sind. Wir sehen auch, dass eine Bedingungsanweisung nicht logisch äquivalent zu ihrer Umkehrung und Umkehrung ist.

Da eine Bedingungsaussage und ihr Kontrapositiv logisch äquivalent sind, können wir dies zu unserem Vorteil nutzen, wenn wir mathematische Theoreme beweisen. Anstatt die Wahrheit einer bedingten Aussage direkt zu beweisen, können wir stattdessen die indirekte Beweisstrategie verwenden, um die Wahrheit des Kontrapositivs dieser Aussage zu beweisen. Kontrapositive Beweise funktionieren, denn wenn das Kontrapositiv wahr ist, ist aufgrund der logischen Äquivalenz auch die ursprüngliche Bedingungsaussage wahr.

Es stellt sich heraus, dass obwohl die converse und inverse sind nicht logisch äquivalent zur ursprünglichen Bedingungsanweisung , sind sie logisch äquivalent zueinander. Dafür gibt es eine einfache Erklärung. Wir beginnen mit der Bedingung If Q dann P . Das Gegenteil dieser Aussage ist If not P dann nicht Q . Da die Umkehrung die Kontraposition der Umkehrung ist, sind Umkehrung und Umkehrung logisch äquivalent.