Signifikante Zahlen in präziser Messung verwenden

CC BY 2.0/Flickr/RDECOM der US-Armee

Wenn Sie eine Messung durchführen, a Wissenschaftler kann nur ein gewisses Maß an Präzision erreichen, das entweder durch die verwendeten Werkzeuge oder die physische Natur der Situation begrenzt ist. Das offensichtlichste Beispiel ist die Entfernungsmessung.

Überlegen Sie, was passiert, wenn Sie die Entfernung messen, die sich ein Objekt mit einem Maßband bewegt hat (in metrischen Einheiten). Das Maßband wird wahrscheinlich in die kleinsten Einheiten von Millimetern zerlegt. Daher gibt es keine Möglichkeit, mit einer Genauigkeit von mehr als einem Millimeter zu messen. Wenn sich das Objekt um 57,215493 Millimeter bewegt, können wir daher nur sicher sagen, dass es sich um 57 Millimeter (oder 5,7 Zentimeter oder 0,057 Meter, je nach Präferenz in dieser Situation) bewegt hat.

Im Allgemeinen ist diese Rundungsstufe in Ordnung. Die genaue Bewegung eines Objekts normaler Größe auf a reduzieren Millimeter wäre eigentlich eine ziemlich beeindruckende Leistung. Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, die Bewegung eines Autos millimetergenau zu messen, und Sie werden sehen, dass dies im Allgemeinen nicht notwendig ist. In den Fällen, in denen eine solche Präzision erforderlich ist, verwenden Sie Werkzeuge, die viel ausgefeilter sind als ein Maßband.

Die Anzahl sinnvoller Zahlen in einer Messung wird als Anzahl bezeichnet bedeutende Zahlen der Nummer. Im vorherigen Beispiel würde uns die 57-Millimeter-Antwort zwei signifikante Zahlen in unserer Messung liefern.

Nullen und signifikante Zahlen

Betrachten Sie die Zahl 5.200.

Sofern nicht anders angegeben, ist es allgemein üblich anzunehmen, dass nur die beiden Nicht-Null-Ziffern signifikant sind. Mit anderen Worten, es wird angenommen, dass diese Nummer war gerundet auf die nächsten hundert.

Wenn die Zahl jedoch als 5.200,0 geschrieben wird, hätte sie fünf signifikante Stellen. Der Dezimalpunkt und die folgende Null werden nur hinzugefügt, wenn die Messung ist auf diesem Niveau genau.

In ähnlicher Weise hätte die Zahl 2,30 drei signifikante Stellen, da die Null am Ende darauf hinweist, dass der Wissenschaftler, der die Messung durchgeführt hat, diese Genauigkeit erreicht hat.

Einige Lehrbücher haben auch die Konvention eingeführt, dass ein Dezimalpunkt am Ende einer ganzen Zahl auch signifikante Zahlen anzeigt. Also hätte 800. drei signifikante Ziffern, während 800 nur eine signifikante Ziffer hat. Auch dies ist je nach Lehrbuch etwas variabel.

Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für unterschiedliche Zahlen signifikanter Zahlen, um das Konzept zu festigen:

Eine bedeutende Zahl
4
900
0,00002
Zwei bedeutende Zahlen
3.7
0,0059
68.000
5.0
Drei bedeutende Figuren
9.64
0,00360
99.900
8.00
900. (in einigen Lehrbüchern)

Mathematik mit signifikanten Zahlen

Wissenschaftliche Zahlen bieten einige andere Regeln für Mathematik als das, was Sie in Ihrem Mathematikunterricht kennen lernen. Der Schlüssel zur Verwendung aussagekräftiger Zahlen besteht darin, sicherzustellen, dass Sie während der gesamten Berechnung das gleiche Maß an Genauigkeit beibehalten. In der Mathematik behältst du alle Zahlen deines Ergebnisses bei, während du in wissenschaftlichen Arbeiten häufig auf die signifikanten Zahlen rundest.

Beim Addieren oder Subtrahieren wissenschaftlicher Daten zählt nur die letzte Ziffer (die Ziffer ganz rechts). Nehmen wir beispielsweise an, dass wir drei verschiedene Entfernungen hinzufügen:

5.324 + 6.8459834 + 3.1

Der erste Term in der Additionsaufgabe hat vier signifikante Stellen, der zweite hat acht und der dritte nur zwei. Die Genauigkeit wird in diesem Fall durch die kürzeste Dezimalstelle bestimmt. Sie führen also Ihre Rechnung durch, aber statt 15,2699834 wird das Ergebnis 15,3 sein, weil Sie auf die Zehntelstelle (die erste Stelle nach dem Komma) runden, weil während zwei Ihrer Messungen genauer sind, kann dir die dritte nicht mehr sagen als die zehnte Stelle, also kann das Ergebnis dieser Additionsaufgabe auch nur so genau sein.

Beachten Sie, dass Ihre endgültige Antwort in diesem Fall drei signifikante Ziffern hat, während keiner Ihrer Startnummern tat. Dies kann für Anfänger sehr verwirrend sein, und es ist wichtig, auf diese Eigenschaft der Addition und Subtraktion zu achten.

Beim Multiplizieren oder Dividieren wissenschaftlicher Daten hingegen kommt es auf die Anzahl signifikanter Stellen an. Das Multiplizieren signifikanter Zahlen führt immer zu einer Lösung, die dieselben signifikanten Zahlen hat wie die kleinsten signifikanten Zahlen, mit denen Sie begonnen haben. Also weiter zum Beispiel:

5,638 x 3,1

Der erste Faktor hat vier signifikante Stellen und der zweite Faktor hat zwei signifikante Stellen. Ihre Lösung wird daher mit zwei signifikanten Ziffern enden. In diesem Fall ist es 17 statt 17,4778. Sie führen die Berechnung durch dann Runden Sie Ihre Lösung auf die richtige Anzahl signifikanter Stellen. Die zusätzliche Genauigkeit bei der Multiplikation wird nicht schaden, Sie möchten nur keine falsche Genauigkeit in Ihrer endgültigen Lösung angeben.

Verwendung der wissenschaftlichen Notation

Die Physik befasst sich mit Bereichen des Weltraums von der Größe von weniger als einem Proton bis zur Größe des Universums. Als solches haben Sie es am Ende mit einigen sehr großen und sehr kleinen Zahlen zu tun. Im Allgemeinen sind nur die ersten paar dieser Zahlen signifikant. Niemand wird (oder kann) die Breite des Universums auf den nächsten Millimeter genau messen.

Notiz

Dieser Teil des Artikels befasst sich mit der Manipulation von Exponentialzahlen (z. B. 105, 10-8 usw.) und es wird davon ausgegangen, dass der Leser diese mathematischen Konzepte versteht. Obwohl das Thema für viele Studenten schwierig sein kann, würde es den Rahmen dieses Artikels sprengen, es zu behandeln.

Um diese Zahlen einfach zu manipulieren, verwenden Wissenschaftler wissenschaftliche Schreibweise . Die signifikanten Zahlen werden aufgelistet und dann mit der erforderlichen Potenz zehn multipliziert. Die Lichtgeschwindigkeit wird geschrieben als: [blackquote shade=no]2.997925 x 108 m/s

Es gibt 7 signifikante Ziffern und das ist viel besser als 299.792.500 m/s zu schreiben.

Notiz

Die Lichtgeschwindigkeit wird häufig mit 3,00 x 108 m/s geschrieben, dann gibt es nur drei signifikante Stellen. Auch hier kommt es darauf an, welches Maß an Präzision erforderlich ist.

Diese Schreibweise ist sehr praktisch für die Multiplikation. Sie befolgen die zuvor beschriebenen Regeln zum Multiplizieren der signifikanten Zahlen, wobei Sie die kleinste Anzahl signifikanter Zahlen beibehalten, und dann multiplizieren Sie die Beträge, was der additiven Exponentenregel folgt. Das folgende Beispiel soll Ihnen bei der Visualisierung helfen:

2,3 x 103 x 3,19 x 104 = 7,3 x 107

Das Produkt hat nur zwei signifikante Stellen und die Größenordnung ist 107, weil 103 x 104 = 107

Das Hinzufügen von wissenschaftlicher Notation kann je nach Situation sehr einfach oder sehr schwierig sein. Wenn die Terme dieselbe Größenordnung haben (d. h. 4,3005 x 105 und 13,5 x 105), befolgen Sie die zuvor besprochenen Additionsregeln, wobei Sie den höchsten Stellenwert als Rundungsstelle beibehalten und die Größenordnung wie im Folgenden beibehalten Beispiel:

4,3005 x 105 + 13,5 x 105 = 17,8 x 105

Wenn die Größenordnung jedoch unterschiedlich ist, müssen Sie ein wenig arbeiten, um die Größenordnungen gleich zu bekommen, wie im folgenden Beispiel, wo ein Term in der Größenordnung von 105 und der andere Term in der Größenordnung von 106 liegt:

4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 4,8 x 105 + 92 x 105 = 97 x 105
oder
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 0,48 x 106 + 9,2 x 106 = 9,7 x 106

Beide Lösungen sind gleich, was zu 9.700.000 als Antwort führt.

Ebenso werden sehr kleine Zahlen häufig auch in wissenschaftlicher Notation geschrieben, allerdings mit einem negativen Exponenten für die Größe anstelle des positiven Exponenten. Die Masse eines Elektrons ist:

9,10939 x 10-31 kg

Dies wäre eine Null, gefolgt von einem Dezimalpunkt, gefolgt von 30 Nullen, dann die Reihe von 6 signifikanten Ziffern. Niemand will das ausschreiben, also ist die wissenschaftliche Notation unser Freund. Alle oben beschriebenen Regeln sind gleich, unabhängig davon, ob der Exponent positiv oder negativ ist.

Die Grenzen signifikanter Zahlen

Signifikante Zahlen sind ein grundlegendes Mittel, das Wissenschaftler verwenden, um den von ihnen verwendeten Zahlen ein Maß an Genauigkeit zu verleihen. Der damit verbundene Rundungsprozess fügt jedoch immer noch ein Fehlermaß in die Zahlen ein, und bei Berechnungen auf sehr hoher Ebene werden andere statistische Methoden verwendet. Für praktisch die gesamte Physik, die in den Klassenzimmern der High School und des Colleges durchgeführt wird, reicht jedoch die korrekte Verwendung signifikanter Zahlen aus, um das erforderliche Maß an Genauigkeit aufrechtzuerhalten.

Letzte Kommentare

Signifikante Zahlen können ein erheblicher Stolperstein sein, wenn sie den Schülern zum ersten Mal vorgestellt werden, da sie einige der grundlegenden mathematischen Regeln ändern, die ihnen jahrelang beigebracht wurden. Bei signifikanten Ziffern ist z. B. 4 x 12 = 50.

Ebenso kann die Einführung der wissenschaftlichen Notation für Schüler, die mit Exponenten oder Exponentialregeln möglicherweise nicht ganz vertraut sind, ebenfalls Probleme verursachen. Denken Sie daran, dass dies Werkzeuge sind, die jeder, der Naturwissenschaften studiert, irgendwann lernen musste, und die Regeln sind eigentlich sehr einfach. Das Problem besteht fast ausschließlich darin, sich daran zu erinnern, welche Regel zu welchem ​​Zeitpunkt angewendet wird. Wann addiere ich Exponenten und wann subtrahiere ich sie? Wann verschiebe ich das Komma nach links und wann nach rechts? Wenn Sie diese Aufgaben weiter üben, werden Sie besser darin, bis sie Ihnen in Fleisch und Blut übergehen.

Schließlich kann die Aufrechterhaltung der richtigen Einheiten schwierig sein. Denken Sie daran, dass Sie Zentimeter und nicht direkt addieren können Meter , muss diese aber erst in den gleichen Maßstab umwandeln. Dies ist ein häufiger Anfängerfehler, aber wie der Rest ist es etwas, das sehr leicht überwunden werden kann, indem man langsamer wird, vorsichtig ist und darüber nachdenkt, was man tut.