Wie man die Komplementregel in der Wahrscheinlichkeit beweist

C. K. Taylor

Daraus lassen sich mehrere Wahrscheinlichkeitssätze ableiten Axiome der Wahrscheinlichkeit . Diese Theoreme können angewendet werden, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, die wir wissen möchten. Ein solches Ergebnis ist als Komplementregel bekannt. Mit dieser Aussage können wir die Wahrscheinlichkeit von an berechnen Veranstaltung EIN indem man die Wahrscheinlichkeit des Komplements kennt EIN ^C. Nachdem wir die Komplementregel aufgestellt haben, werden wir sehen, wie dieses Ergebnis bewiesen werden kann.

Die Komplementregel

Die Ergänzung der Veranstaltung EIN ist mit bezeichnet EIN ^C. Die Ergänzung von EIN ist der einstellen aller Elemente in der universellen Menge, oder Probenraum S, die keine Elemente der Menge sind EIN .

Die Komplementregel wird durch die folgende Gleichung ausgedrückt:

P( EIN ^C) = 1 – P( EIN )

Hier sehen wir, dass sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die Wahrscheinlichkeit seines Komplements zu 1 summieren müssen.

Beweis der Komplementregel

Um die Komplementregel zu beweisen, beginnen wir mit den Wahrscheinlichkeitsaxiomen. Diese Aussagen werden ohne Beweis angenommen. Wir werden sehen, dass sie systematisch zum Beweis unserer Aussage über die Wahrscheinlichkeit des Komplements eines Ereignisses herangezogen werden können.

• Das erste Axiom der Wahrscheinlichkeit besagt, dass die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses nichtnegativ ist reelle Zahl .
• Das zweite Wahrscheinlichkeitsaxiom ist die Wahrscheinlichkeit des gesamten Stichprobenraums S ist ein. Symbolisch schreiben wir P( S ) = 1.
• Das dritte Axiom der Wahrscheinlichkeit besagt, dass If EIN und B sich gegenseitig ausschließen (was bedeutet, dass sie einen leeren Schnittpunkt haben), dann geben wir die Wahrscheinlichkeit dafür an Vereinigung dieser Ereignisse als P( EIN IN B ) = P( EIN ) + P( B ).

Für die Komplementregel müssen wir das erste Axiom in der obigen Liste nicht verwenden.

Um unsere Aussage zu beweisen, betrachten wir die Ereignisse EIN und EIN ^C. Aus der Mengenlehre wissen wir, dass diese beiden Mengen einen leeren Schnittpunkt haben. Dies liegt daran, dass ein Element nicht gleichzeitig in beiden sein kann EIN und nicht drin EIN . Da es eine leere Schnittmenge gibt, sind diese beiden Mengen sich gegenseitig ausschließen .

Die Vereinigung der beiden Ereignisse EIN und EIN ^Csind ebenfalls wichtig. Diese stellen erschöpfende Ereignisse dar, was bedeutet, dass die Union dieser Ereignisse ist der gesamte Sample-Raum S .

Diese Tatsachen, kombiniert mit den Axiomen, ergeben die Gleichung

1 = P( S ) = P( EIN IN EIN ^C) = P( EIN ) + P( EIN ^C) .

Die erste Gleichheit ergibt sich aus dem zweiten Wahrscheinlichkeitsaxiom. Die zweite Gleichheit liegt an den Ereignissen EIN und EIN ^Csind erschöpfend. Die dritte Gleichheit ergibt sich aus dem dritten Wahrscheinlichkeitsaxiom.

Die obige Gleichung kann in die oben angegebene Form umgeordnet werden. Alles, was wir tun müssen, ist die Wahrscheinlichkeit von zu subtrahieren EIN von beiden Seiten der Gleichung. Daher

1 = P( EIN ) + P( EIN ^C)

wird zur Gleichung

P( EIN ^C) = 1 – P( EIN ).

Natürlich könnte man die Regel auch so ausdrücken:

P( EIN ) = 1 – P( EIN ^C).

Alle drei dieser Gleichungen sind äquivalente Arten, dasselbe auszudrücken. Wir sehen aus diesem Beweis, wie uns nur zwei Axiome und etwas Mengenlehre helfen, neue Aussagen zur Wahrscheinlichkeit zu beweisen.