Was meint Alain Badiou mit „Mathematik = Ontologie“?

Alain Badiou, Foto von Basso Cannarsa, via L'Humanité
Im ein früherer Artikel über die wichtigsten „Regionen“ der zeitgenössischen Philosophie schrieb ich Folgendes: „Zugegebenermaßen wäre mindestens ein weiterer Artikel erforderlich, um die Vorschläge zu untersuchen und zu bewerten, die Alain Badiou vorgebracht hat, um die Einheit der drei Regionen durch eine vierte zu ersetzen.“ Der vorliegende Artikel gibt vor, der Artikel zu sein, der benötigt wird, um Badious Beitrag zur philosophischen Szene zu bewerten. Heute teilen die wichtigsten Regionen oder Strömungen der Philosophie die Vorstellung, dass das Denken der Sprache untergeordnet werden muss. Badiou hingegen versucht in seinem Hauptwerk zu zeigen, dass das Denken die Barriere überwinden kann, die die Realität von den sprachlichen Strukturen trennt, die wir auf sie projizieren.
Diese Opposition kristallisiert sich in Badious Meinungsverschiedenheit mit dem Hauptvertreter der hermeneutischen Region heraus, Martin Heidegger . Die Kontroverse betrifft den Status des wissenschaftlichen Denkens. Nach Heideggers Bericht, den ich in einem anderen Artikel erörtere, Wissenschaft kann nicht denken . Der Ehrgeiz der Wissenschaft, die Wirklichkeit hinter dem Schein zu denken, überschreitet die Grenzen des Denkbaren. Schon durch den Versuch zu denken macht sich die Wissenschaft unfähig dazu. Badiou hingegen sieht die Wissenschaft als eine der Domänen unserer Kultur, in der wahres Denken produziert wird.
Alain Badiou über die Seinsfrage

Cover der Originalausgabe von Being and Event in französischer Sprache, via Éditions du Seuil
Alain Badiou übernimmt den Rahmen, in dem Martin Heidegger seine Verurteilung von Philosophie und Wissenschaft zum Ausdruck bringt. Der französische Philosoph glaubt, dass alle zeitgenössische Philosophie von der Erneuerung von Heideggers Seinsfrage ausgehen muss. Die Einsätze in Badious wichtigstem Werk (sein Titel Sein und Ereignis spielt eindeutig auf Heidegger an opus magnum, Sein und Zeit ) sollen, kurz gesagt, eine andere Antwort auf die ontologische Frage entwickeln.
Darüber hinaus setzt die Antwort, die Badiou auf diese Frage anbietet, die ontologischen Unterscheidungen voraus, die in festgelegt wurden Sein und Zeit . Ontologie ist nicht das Studium der Art von Dingen, die es gibt, sondern dessen, was es ist sein . Badious Definition von Ontologie ist „die Präsentation der Präsentation“. Es ist die Erforschung dessen, wie allgemein Dinge dargestellt werden können.
Alain Badiou über das Verhältnis von Wissenschaft und Sein

Porträt von Gottfried Leibniz von Christoph Bernhard Francke, 1695, über Wikimedia Commons.
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Vielen Dank!Badiou und Heidegger unterscheiden sich in der wissenschaftlichen Abstraktion. Überall in seinem Werk stellt Heidegger dem ursprünglichen Erfahrungsreichtum die Armut seiner wissenschaftlichen Beschreibung gegenüber. Für Badiou ist diese Armut das eigentliche Zeichen für den Wesensbezug der Wissenschaften zum Sein. Der Reichtum, den das wissenschaftliche Denken verwirft, betrifft das Seiende und nicht das Sein.
Dieser Punkt bedarf sicherlich einer Erklärung. Am Anfang von Sein und Ereignis nähert sich Badiou dem Sein durch die Frage nach dem Einen und dem Vielfachen. Laut deutschem Philosophen und Universalgelehrten Leibniz Einheit ist eine notwendige Bedingung dafür, dass etwas als das gilt, was nicht ist a Sein, wie er es ausdrückte, ist kein Sein. Die Idee ist, dass alles, was existiert, notwendigerweise sein muss etwas und dadurch geeint – eins – gegen das, was es nicht ist.
Das Problem mit der Argumentation von Leibniz ist, dass sie durch die Erfahrung widerlegt zu sein scheint, in der alles enthalten ist mehrere . Ein Tisch ist einer als dieser Tisch , aber es ist auch die Sammlung seiner vielen Teile. Wenn Leibniz Recht hat, dann scheint Sein etwas zu sein, was wir nicht erfahren können. Aber woher weiß Leibniz dann, dass das Sein eins ist?
Badious Lösung besteht darin, der Erfahrung (und Heidegger) zu folgen und zu erklären, dass das Sein der Erfahrung entsprechen muss. Leibniz’ Diktum umkehrend, erklärt er, dass das, was nicht mehrfach ist, nicht ist. Einheit ist nichts als eine illusorische Wirkung der wesentlichen Vielheit des Seins. Einheit ist das, was etwas als etwas zählen lässt. Vielheit ist das, was als Eins gezählt wird, das Sein auf die die Zählung angewendet wird.
Das Problem des Einen und des Vielfachen

Assemblage, Deana Lawson, 2021, Museum of Modern Art, New York
Aber anscheinend tritt das gleiche Problem wieder auf. Nehmen wir an, das Sein sei wesentlich vielfältig. Wenn es jedoch erfahren werden soll, muss es doch als etwas und damit, wie Leibniz zu Recht bemerkt, als eines erfahren werden. Aber dann muss das Sein unerkennbar sein und die Hypothese von Badiou – Sein als Vielfaches – muss so willkürlich sein wie die von Leibniz. Wir können weder Zugang zu dem Vielfachen jenseits des Einen noch zu dem Einen jenseits des Vielfachen erlangen.
Badiou stimmt zu. Das Dargestellte, sei es eins oder mehrfach, kann nicht in seiner Reinheit erreicht werden, eines ohne das Mehrfache oder ein Mehrfaches ohne das Eine. Zugreifbar ist die Darstellung, also der Prozess, in dem die Wesensvielfalt des Seins wird a Vielzahl. Ontologie kann nicht die Präsentation dessen sein, was jenseits jeder Präsentation ist. Es kann nur die Präsentation der Präsentation sein.
Alain Badiou: Eine „radikale These“ der Ontologie

Archimedes von Domenico Fetti, 1620, Alte Meister, Dresden, Deutschland, über The Archimedes Project.
Diese Überlegungen zum Einen und zum Vielfachen scheinen mit der Frage der Wissenschaft nicht viel zu tun zu haben. Aber tatsächlich bereiten sie Badious Verteidigung der Wissenschaft durch ihr Hauptparadigma vor: die Mathematik. Badious ‘radikale These’ in Sein und Ereignis ist, dass Mathematik wirklich die Wissenschaft des Seins ist über Sein. Mit anderen Worten: Mathematik = Ontologie im Sinne Heideggers.
Der Schlüssel zu dieser Gleichung ist die Identifizierung des Seins und des Vielfachen. Intuitiv scheint die Mathematik die möglichen Operationen auf Vielfachheiten zu behandeln. Nach allgemeiner Auffassung dreht sich in der Mathematik alles um Zahlen und Figuren. Beides kann als Vielfaches identifiziert werden. Eine Zahl in ihrer einfachsten Form ist eine Vielzahl von Einheiten. Ursprünglich im antikes Griechenland , zählte die Zahl 1 nicht einmal als Zahl. Eine Figur ist das, auf das der Begriff der Größe zutrifft. Und auch die Größe lässt sich meist an einer Zahl messen, die die wesentliche Mannigfaltigkeit der Figur offenbart.
Die Bedeutung der Mengenlehre für Alain Badiou

Fotografie von Georg Cantor, ca. 1910, über Wikimedia.
Aber Badiou hat tiefergehende Gründe für die Gleichsetzung von Mathematik und Ontologie. Wie wir gerade gesagt haben, sind Zahlen Vielfache von Einheiten. Das heißt, sie sind noch nicht rein multipel. Im späten 19. Jahrhundert wurde ein deutscher Mathematiker benannt Georg Kantor Mengenlehre erstellt. Von diesem Moment an konnten Mathematiker das Vielfache ohne Eins behandeln.
Einerseits sind Mengen in der Mengenlehre nichts anderes als Vielfache. Vielfache von was? Zum naiv Mengentheorie, eine Menge ist immer ein Vielfaches von etwas, viele Dinge werden als eins betrachtet. Man kann von der Menge der natürlichen Zahlen sprechen oder von der Menge der in Madagaskar lebenden linkshändigen Frauen und so weiter.
Aber für die rigorose axiomatisierte Version der Mengenlehre ist die Menge kein Vielfaches von irgendetwas. Wenn Sie eine gegebene Menge innerhalb ihres theoretischen Universums analysieren, werden Sie nur mehr Mengen finden. Die einzige Ausnahme ist die leere Menge, die nichts enthält. Das Konzept der leeren Menge, aus der alle anderen Mengen in der Mengenlehre bestehen, weist darauf hin, dass Mathematiker eine Menge als ein Vielfaches ohne Einheit betrachten. Die Menge ist nicht ein Vielfaches von etwas – was damit eins wäre – sondern ein Vielfaches von nichts.
Cantors Entdeckung über das Unendliche

Die Nostalgie des Unendlichen von Giorgio de Chirico, ca. 1911, über MoMA.
Es gibt jedoch eine andere Form der Einheit, der sich die Mengenlehre scheinbar nicht entziehen kann. Wir haben gerade das theoretische Universum der Mengentheorie erwähnt. Ist dieses Universum nicht a Universum und damit ein Universum? Allein die Tatsache, dass wir diese Frage mit „Nein“ beantworten können, ist der deutlichste Indikator für Cantors Einfluss auf die Geschichte der Mathematik – und vielleicht auf das Denken im Allgemeinen.
Normalerweise wird angenommen, dass die Multiplikation mathematischer Objekte unendlich weitergehen kann. Es gibt zum Beispiel keine letzte natürliche Zahl. Man kann eine Zahl endlos addieren, multiplizieren und potenzieren, ohne jemals an eine Grenze zu stoßen, über der man nicht mehr weitermachen kann. Aber nach allgemeiner Auffassung gibt es für diese endlose Anhäufung von Zahlen eine Grenze, nämlich die Unendlichkeit selbst: die Unendlichkeit.
Diese Vorstellung passt gut zur vormodernen Vorstellung vom Universum. Es wird angenommen, dass seine Endlichkeit durch ein Unendliches begrenzt ist Gott , der seiner Schöpfung inkommensurabel ist. Dass das Universum endlich ist, bedeutet, dass es durch den grenzenlosen Schöpfer begrenzt ist. Seine Vielfalt wird durch das Eine beschränkt. Aber Cantors Mengenlehre eröffnet neue Wege, um über die Beziehung zwischen Endlichkeit und Unendlichkeit nachzudenken. 1873 bewies er, dass die unendliche Menge von reale Nummern (alle Zahlen, die mit einer Folge von Dezimalstellen ausgedrückt werden können) enthält 'mehr' Elemente als die unendliche Menge ganzer Zahlen.
1891 bewies auch Cantor das ab irgendein unendliche Menge kann man eine 'größere' erzeugen. Sein Ergebnis, heute benannt Satz von Cantor , zeigt, dass es unendlich viele verschiedene Unendlichkeiten einer Unendlichkeit unterschiedlicher „Größen“ gibt. Schließlich war es auch bewährt dass es keine Menge aller Mengen gibt, die sich an all diese Unendlichkeiten erinnert. Infolgedessen kann es keine eindeutige Grenze geben, die das mengentheoretische Universum abschließt von oben . Das Vielfache ist rein, ohne Eins, von unten nach oben.
Ein letzter Einwand gegen den Anspruch der Mengentheorie auf das reine Vielfache

Porträt von Ernst Zermelo, über Wikimedia Commons.
Das mengentheoretische Universum ist weder konsistent noch besteht es aus irgendetwas Konsistenz. Aber vereinheitlicht die Mengenlehre durch das Studium des reinen Vielfachen es nicht als Objekt? Ist das Vielfache in seiner Reinheit nicht geeint gegen das, was es nicht ist?
In gewisser Weise lautet die Antwort immer noch „nein“. Um einige theoretische Schwierigkeiten zu umgehen, Ernst Zermelo unternahm 1905 die Axiomatisierung von Cantors Mengenlehre. Einfach ausgedrückt stellte er eine Reihe von Regeln (die Axiome) auf, von denen er dachte, dass sie die Möglichkeiten innerhalb der Mengenlehre umreißen sollten.
Wichtig ist, dass er zu keinem Zeitpunkt definierte Die Objekte der Theorie. Die Objekte sind streng genommen nur das, was als Stütze für die durch die Regeln definierten Relationen dienen kann. Was für ein Satz ist ist nur ein Begriff, der rechts neben das Symbol „“ geschrieben wird, was als „gehört zu“ gelesen werden kann. Das Vielfache wird also nie explizit vereinheitlicht gegen das, was es nicht ist. Obwohl die Theorie das reine Vielfache und nichts als studiert, tut sie dies, ohne es jemals zu schaffen ein (oder ein) Objekt.
Die genaue Beziehung zwischen Mengenlehre und Ontologie

Voice of Space von René Magritte, 1931, über die Peggy Guggenheim Foundation.
Seit die Arbeit von Zermelo und Cantor veröffentlicht wurde, ist die Mengenlehre die beliebteste Sprache, um über mathematische Objekte zu sprechen. Es scheint, dass fast alles, woran man in der Mathematik gedacht hat, als eine Art Menge ausgedrückt werden kann.
Diese Tatsache rechtfertigt schließlich die Gleichung „Mathematik = Ontologie“. Da alles innerhalb des mathematischen Universums als Menge gedacht werden kann und da die Mengentheorie im Wesentlichen eine Möglichkeit ist, das Vielfache in seiner Reinheit zu denken, kann die Erfindung der Mengentheorie als nichts anderes verstanden werden als der historische Moment, in dem sich die Mathematik bewusst wird seine Berufung, ein Hauptprädikat des Seins, das Vielfache, zu denken.
Ausgehend vom Vielfachen als Vielfaches stellen die Mengenlehre – und mit der Mengenlehre ausgedrückte mathematische Theorien – dar, was passiert, wenn das reine Vielfache zu bestimmten Vielfachen wird. Diese Theorien sind die Präsentation der Präsentation.
Alain Badiou gegen Martin Heidegger

Galileo vor der römischen Inquisition, Cristiano Banti, 1857, über New Scientist
Wissenschaft und ihre Quintessenz Mathematik ist nicht das, was unsere Zivilisation das Sein vergessen ließ. Es ist das, was unserer Zivilisation ermöglicht hat, unsere Illusionen zu überwinden. Dadurch hat es einen Weg zum Sein geöffnet.
Schließlich gibt es drei Gründe, Badious Darstellung der Wissenschaft der Heideggers vorzuziehen.
Das erste ist, dass die Identifizierung von Sein, Wahrheit und Schein die Ausarbeitung einer Kritik unserer Kultur behindert. Aber eine solche Kritik ist für Heidegger notwendig, der eine Art der Manifestation des Seins (Dichtung) gegenüber anderen (Wissenschaft und Technik) bevorzugt. Aber unechte Erscheinungen wie Wissenschaft und Technik scheinen ebenso Erscheinungen wie Poesie zu sein. Was ist hier Heideggers Prinzip?
Die zweite ist, dass es möglicherweise andere Arten des Seinsdenkens gibt als die, die Heidegger schätzt. Wenn die obige Darstellung der Beziehung der Mathematik zur Ontologie einen Reiz hat, ist Heidegger selbst schuldig, zur Vergessenheit des Seins beigetragen zu haben.
Alain Badiou und die Triade von Philosophie, Poesie und Wissenschaft

Alain Badiou, 2011, über Radio France Culture
Ein dritter Grund, warum Heideggers Darstellung der Wissenschaft problematisch ist, besteht darin, dass sie die Fortsetzung der Philosophie behindert. Wenn Poesie die einzige Möglichkeit ist, das Sein zu denken, kann Philosophie bestenfalls ihr überflüssiger Kommentar sein.
Poesie und Wissenschaft sind für Badiou zwei unterschiedliche, aber gleich wichtige Methoden, um das Sein zu denken. Dieser plurale Zugang zum Sein lässt die Philosophie zu etwas anderem werden als zum blassen Spiegelbild des einen oder anderen. Philosophie muss kein minder vollendeter Seinsgedanke sein, sondern ein Gedanke an etwas anderes. Es ist das Denken seiner eigenen Zeit, bestimmt durch die Entdeckungen innerhalb der verschiedenen Denkweisen.
Zusammenfassend haben wir gesehen, wie Badious Philosophie ihre Zeit denkt, indem sie uns die Bedeutung einer wichtigen Entdeckung innerhalb der Wissenschaft liefert: die Berufung der Mathematik, das Sein als das reine Vielfache zu denken.