Was ist die Markovsche Ungleichung?

Die Markovsche Ungleichung gibt eine Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable von ihrem erwarteten Wert abweicht.

C. K. Taylor

Die Markovsche Ungleichung ist ein hilfreiches Wahrscheinlichkeitsergebnis, das Auskunft über a gibt Wahrscheinlichkeitsverteilung . Das Bemerkenswerte daran ist, dass die Ungleichung für jede Verteilung mit positiven Werten gilt, egal welche anderen Merkmale sie hat. Die Markovsche Ungleichung gibt eine Obergrenze für den Prozentsatz der Verteilung an, der über einem bestimmten Wert liegt.

Aussage zur Markovschen Ungleichung

Die Markovsche Ungleichung sagt das für eine positive Zufallsvariable X und alle positiv reelle Zahl a , die Wahrscheinlichkeit, dass X größer oder gleich ist a kleiner oder gleich dem ist erwarteter Wert von X geteilt durch a .

Die obige Beschreibung kann unter Verwendung einer mathematischen Notation prägnanter ausgedrückt werden. In Symbolen schreiben wir die Markovsche Ungleichung als:

P ( X ≥ a ) ≤ UND ( X ) / a

Illustration der Ungleichheit

Um die Ungleichung zu veranschaulichen, nehmen wir an, wir haben eine Verteilung mit nichtnegativen Werten (wie a Chi-Quadrat-Verteilung ). Wenn diese Zufallsvariable X einen erwarteten Wert von 3 hat, werden wir uns die Wahrscheinlichkeiten für einige Werte von ansehen a .

• Zum a = 10 Das sagt die Markovsche Ungleichung P ( X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30 %. Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei 30 % X ist größer als 10.
• Zum a = 30 Das sagt die Markovsche Ungleichung P ( X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10 %. Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei 10 % X größer als 30 ist.
• Zum a = 3 Das sagt die Markovsche Ungleichung P ( X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 = 100 % sind sicher. Das besagt also, dass ein Wert der Zufallsvariablen größer oder gleich 3 ist. Das sollte nicht allzu überraschend sein. Wenn alle Werte von X kleiner als 3 wäre, dann wäre auch der Erwartungswert kleiner als 3.
• Als Wert von a steigt, der Quotient UND ( X ) / a wird immer kleiner. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit dafür sehr gering ist X ist sehr, sehr groß. Auch hier würden wir bei einem erwarteten Wert von 3 nicht erwarten, dass ein Großteil der Verteilung mit sehr großen Werten vorhanden ist.

Verwendung der Ungleichheit

Wenn wir mehr über die Verteilung wissen, mit der wir arbeiten, können wir die Markovsche Ungleichung normalerweise verbessern. Der Wert seiner Verwendung besteht darin, dass er für jede Verteilung mit nichtnegativen Werten gilt.

Zum Beispiel, wenn wir die durchschnittliche Größe der Schüler einer Grundschule kennen. Die Markovsche Ungleichung sagt uns, dass nicht mehr als ein Sechstel der Schüler eine Größe haben kann, die größer als das Sechsfache der mittleren Größe ist.

Die andere wichtige Anwendung der Markovschen Ungleichung ist der Beweis Chebyshevs Ungleichung . Diese Tatsache führt dazu, dass der Name Tschebyscheffsche Ungleichung auch auf die Markowsche Ungleichung angewendet wird. Die Verwirrung bei der Benennung der Ungleichungen ist auch historischen Gegebenheiten geschuldet. Andrey Markov war der Schüler von Pafnuty Chebyshev. Chebyshevs Arbeit enthält die Ungleichheit, die Markov zugeschrieben wird.