Formeln für Trägheitsmomente

Das Trägheitsmoment eines Objekts ist ein numerischer Wert, der für jeden starren Körper berechnet werden kann, der eine physikalische Drehung um eine feste Achse erfährt. Es basiert nicht nur auf der physikalischen Form des Objekts und seiner Massenverteilung, sondern auch auf der spezifischen Konfiguration, wie das Objekt rotiert. Dasselbe Objekt, das sich auf unterschiedliche Weise dreht, hätte also in jeder Situation ein anderes Trägheitsmoment.

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Allgemeine Formel

Die allgemeine Formel zur Ableitung des Trägheitsmoments. Andrew Zimmerman-Jones

Die allgemeine Formel repräsentiert das grundlegendste konzeptionelle Verständnis des Trägheitsmoments. Grundsätzlich ist für jedes rotierende Objekt der Moment der Trägheit kann berechnet werden, indem man den Abstand jedes Teilchens von der Rotationsachse nimmt ( r in der Gleichung), diesen Wert quadrieren (das ist die r ^zweiTerm) und multipliziert es mit dem Masse dieses Teilchens. Sie tun dies für alle Partikel, aus denen das rotierende Objekt besteht, und addieren diese Werte dann zusammen, und das ergibt das Trägheitsmoment.

Die Konsequenz dieser Formel ist, dass das gleiche Objekt einen anderen Trägheitsmomentwert erhält, je nachdem, wie es sich dreht. Eine neue Rotationsachse führt zu einer anderen Formel, selbst wenn die physische Form des Objekts gleich bleibt.

Diese Formel ist der „rohste“ Ansatz zur Berechnung des Trägheitsmoments. Die anderen bereitgestellten Formeln sind normalerweise nützlicher und stellen die häufigsten Situationen dar, denen Physiker begegnen.

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Umfassende Formel

Die allgemeine Formel ist nützlich, wenn das Objekt als eine Sammlung diskreter Punkte behandelt werden kann, die addiert werden können. Für ein aufwändigeres Objekt kann es jedoch erforderlich sein, sich zu bewerben Infinitesimalrechnung um das Integral über ein ganzes Volumen zu nehmen. Die Variable r ist der Radius Vektor vom Punkt zur Rotationsachse. Die Formel p ( r ) ist die Massendichtefunktion an jedem Punkt r:

I-sub-P ist gleich der Summe von i von 1 bis N der Größe m-sub-i mal r-sub-i zum Quadrat.

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Feste Kugel

Eine feste Kugel, die sich um eine Achse dreht, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht, mit Masse M und Radius R , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

Ich = (2/5) HERR ^zwei

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Hohle dünnwandige Kugel

Eine Hohlkugel mit einer dünnen, vernachlässigbaren Wand, die sich um eine Achse dreht, die durch den Kugelmittelpunkt geht, mit Masse M und Radius R , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

Ich = (2/3) HERR ^zwei

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Solider Zylinder

Ein massiver Zylinder, der sich um eine Achse dreht, die durch die Mitte des Zylinders geht, mit Masse M und Radius R , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

Ich = (1/2) HERR ^zwei

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Hohler dünnwandiger Zylinder

Ein Hohlzylinder mit einer dünnen, vernachlässigbaren Wand, der sich um eine Achse dreht, die durch die Mitte des Zylinders geht, mit Masse M und Radius R , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

Ich = HERR ^zwei

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Hohlzylinder

Ein Hohlzylinder, der sich um eine Achse dreht, die durch die Mitte des Zylinders geht, mit Masse M , Innenradius R ₁, und Außenradius R _zwei, hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

Ich = (1/2) M ( R ₁^zwei+ R _zwei^zwei)

Notiz: Wenn Sie diese Formel genommen und eingestellt haben R ₁= R _zwei= R (oder, besser gesagt, nahm die mathematische Grenze als R ₁und R _zweieinem gemeinsamen Radius annähern R ) erhalten Sie die Formel für das Trägheitsmoment eines dünnwandigen Hohlzylinders.

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Rechteckige Platte, Achse durch die Mitte

Eine dünne rechteckige Platte, die sich um eine Achse dreht, die senkrecht zur Mitte der Platte steht, mit Masse M und Seitenlängen a und b , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

ich = (1/12) M ( a ^zwei+ b ^zwei)

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Rechteckige Platte, Achse entlang der Kante

Eine dünne rechteckige Platte, die sich um eine Achse entlang einer Kante der Platte dreht, mit Masse M und Seitenlängen a und b , wo a ist der Abstand senkrecht zur Rotationsachse, hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

ich = (1/3) Und ^zwei

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Schlanke Stange, Achse durch die Mitte

Ein schlanker Stab, der sich um eine Achse dreht, die durch die Mitte des Stabs verläuft (senkrecht zu seiner Länge), mit Masse M und Länge L , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

ich = (1/12) ML ^zwei

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Schlanker Stab, Achse durch ein Ende

Ein schlanker Stab, der sich um eine Achse dreht, die durch das Ende des Stabs (senkrecht zu seiner Länge) geht, mit Masse M und Länge L , hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:

ich = (1/3) ML ^zwei