Fakten zur Nummer e: 2.7182818284590452...

C. K. Taylor

Wenn Sie jemanden bitten würden, seine oder ihre bevorzugte mathematische Konstante zu nennen, würden Sie wahrscheinlich einige fragende Blicke bekommen. Nach einer Weile kann sich jemand freiwillig dafür melden beste Konstante ist pi . Aber das ist nicht die einzige wichtige mathematische Konstante. Ein knapper Zweiter, wenn nicht gar ein Anwärter auf die Krone der allgegenwärtigsten Konstante ist und . Diese Zahl taucht in Analysis, Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeit und auf Statistiken . Wir werden einige der Merkmale dieser bemerkenswerten Zahl untersuchen und sehen, welche Verbindungen sie mit Statistiken und Wahrscheinlichkeiten hat.

Wert von und

Wie Pi, und ist ein irrationales reelle Zahl . Dies bedeutet, dass es nicht als Bruch geschrieben werden kann und dass seine Dezimalerweiterung endlos weitergeht, ohne sich wiederholenden Zahlenblock, der sich ständig wiederholt. Die Nummer und ist auch transzendent, was bedeutet, dass es nicht die Wurzel eines Polynoms ungleich Null mit rationalen Koeffizienten ist. Die ersten fünfzig Dezimalstellen von werden durch angegeben und = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995.

Definition von und

Die Nummer und wurde von Leuten entdeckt, die neugierig auf den Zinseszins waren. Bei dieser Form der Verzinsung verdient der Kapitalgeber Zinsen und dann die generierten Zinsen selbst. Es wurde beobachtet, dass je größer die Frequenz der Aufzinsungsperioden pro Jahr, desto höher die generierten Zinsen sind. Zum Beispiel könnten wir Zinseszinsen betrachten:

• Jährlich oder einmal im Jahr
• Halbjährlich oder zweimal im Jahr
• Monatlich oder 12 Mal im Jahr
• Täglich oder 365 Mal im Jahr

Der Gesamtbetrag der Zinsen erhöht sich für jeden dieser Fälle.

Es stellte sich die Frage, wie viel Geld überhaupt an Zinsen verdient werden könnte. Um zu versuchen, noch mehr Geld zu verdienen, könnten wir theoretisch die Anzahl der Verzinsungsperioden so hoch erhöhen, wie wir wollten. Das Endergebnis dieser Erhöhung ist, dass wir davon ausgehen, dass die Zinsen kontinuierlich aufgezinst werden.

Während das erzeugte Interesse zunimmt, tut es dies sehr langsam. Der Gesamtgeldbetrag auf dem Konto stabilisiert sich tatsächlich, und der Wert, auf den sich dieser stabilisiert, ist und . Um dies mit einer mathematischen Formel auszudrücken, sagen wir, dass die Grenze als n Steigerungen von (1+1/ n ) ⁿ = und .

Verwendungen von und

Die Nummer und taucht überall in der Mathematik auf. Hier sind einige der Orte, an denen es auftritt:

• Es ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Seit Napier den Logarithmus erfunden hat, und wird manchmal als Napier-Konstante bezeichnet.
• In der Analysis die Exponentialfunktion und^x hat die einzigartige Eigenschaft, sein eigenes Derivat zu sein.
• Ausdrücke mit und^x und und^-x kombinieren, um die hyperbolischen Sinus- und hyperbolischen Kosinusfunktionen zu bilden.
• Dank der Arbeit von Euler wissen wir, dass die fundamentalen Konstanten der Mathematik durch die Formel miteinander verbunden sind und^ich +1=0, wobei ich ist die imaginäre Zahl, die die Quadratwurzel aus minus eins ist.
• Die Nummer und taucht in verschiedenen Formeln in der gesamten Mathematik auf, insbesondere im Bereich der Zahlentheorie.

Der Wert und in Statistik

Die Bedeutung der Zahl und beschränkt sich nicht nur auf einige Bereiche der Mathematik. Es gibt auch mehrere Verwendungen der Nummer und in Statistik und Wahrscheinlichkeit. Einige davon sind wie folgt:

• Die Nummer und tritt in der auf Formel für die Gammafunktion .
• Die Formeln für die Standardnormalverteilung beinhaltet und zu einer negativen Kraft. Diese Formel enthält auch Pi.
• Viele andere Verteilungen beinhalten die Verwendung der Nummer und . Beispielsweise enthalten die Formeln für die t-Verteilung, die Gamma-Verteilung und die Chi-Quadrat-Verteilung alle die Zahl und .