Die Zahl Pi: 3.14159265...
Pi. Carol Yepes/Getty Images
Eine der am häufigsten verwendeten Konstanten in der Mathematik ist die Zahl Pi, die mit dem griechischen Buchstaben π bezeichnet wird. Das Konzept von Pi hat seinen Ursprung in der Geometrie, aber diese Zahl findet Anwendung in der gesamten Mathematik und taucht in weitreichenden Themen auf, einschließlich Statistik und Wahrscheinlichkeit. Pi hat mit der Feier von sogar kulturelle Anerkennung und einen eigenen Feiertag erlangt Aktivitäten am Pi-Tag auf der ganzen Welt.
Der Wert von Pi
Pi ist definiert als das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Der Wert von Pi ist etwas größer als drei, was bedeutet, dass jeder Kreis im Universum einen Umfang hat, dessen Länge etwas mehr als dem Dreifachen seines Durchmessers entspricht. Genauer gesagt hat Pi eine Dezimaldarstellung, die mit 3,14159265 beginnt... Dies ist nur ein Teil der Dezimalerweiterung von Pi.
Pi-Fakten
Pi hat viele faszinierende und ungewöhnliche Funktionen, darunter:
- Pi ist ein Irrational reelle Zahl . Das bedeutet, dass Pi nicht als Bruch ausgedrückt werden kann a/b wo a und b sind beide ganze Zahlen . Obwohl die Zahlen 22/7 und 355/113 beim Schätzen von Pi hilfreich sind, ist keiner dieser Brüche der wahre Wert von Pi.
- Da pi eine irrationale Zahl ist, endet oder wiederholt sich seine Dezimalerweiterung nie. Es gibt einige Fragen zu dieser Dezimalerweiterung, wie zum Beispiel: Kommt jede mögliche Ziffernfolge irgendwo in der Dezimalerweiterung von pi vor? Wenn alle möglichen Zeichenfolgen vorkommen, befindet sich Ihre Handynummer irgendwo in der Erweiterung von pi (aber auch die aller anderen).
- Pi ist eine transzendente Zahl. Das bedeutet, dass pi nicht die Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Diese Tatsache ist wichtig, wenn Sie erweiterte Funktionen von pi erkunden.
- Pi ist geometrisch wichtig, und nicht nur, weil es den Umfang und Durchmesser eines Kreises in Beziehung setzt. Diese Zahl taucht auch in der Formel für die Kreisfläche auf. Die Fläche eines Kreises mit Radius r ist EIN = Pi r zwei. Die Zahl Pi wird in anderen geometrischen Formeln verwendet, wie z. B. der Oberfläche und dem Volumen einer Kugel, dem Volumen eines Kegels und dem Volumen eines Zylinders mit kreisförmiger Grundfläche.
- Pi erscheint, wenn es am wenigsten erwartet wird. Betrachten Sie eines von vielen Beispielen dafür die unendliche Summe 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 +... Diese Summe konvergiert gegen den Wert pizwei/6.
Pi in Statistik und Wahrscheinlichkeit
Pi taucht überall in der Mathematik überraschend auf, und einige dieser Erscheinungen betreffen die Themen Wahrscheinlichkeit und Statistik. Die Formel für die Standardnormalverteilung , auch Glockenkurve genannt, weist die Zahl Pi als Normalisierungskonstante auf. Mit anderen Worten, wenn Sie durch einen Ausdruck dividieren, der Pi enthält, können Sie sagen, dass die Fläche unter der Kurve gleich eins ist. Pi ist Teil der Formeln für andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen auch.
Ein weiteres überraschendes Auftreten von Pi in der Wahrscheinlichkeit ist ein jahrhundertealtes Nadelwurfexperiment. Im 18. Jahrhundert, Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon stellte eine Frage zur Wahrscheinlichkeit, dass Nadeln fallen: Beginnen Sie mit einem Boden mit Holzbrettern gleicher Breite, bei dem die Linien zwischen den Brettern parallel zueinander verlaufen. Nehmen Sie eine Nadel, deren Länge kürzer ist als der Abstand zwischen den Brettern. Wenn Sie eine Nadel auf den Boden fallen lassen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie auf einer Linie zwischen zwei Holzbrettern landet?
Wie sich herausstellt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel auf einer Linie zwischen zwei Brettern landet, doppelt so lang wie die Nadel geteilt durch die Länge zwischen den Brettern mal Pi.